Modelul Jorgenson

Este un model în care este urmărită strategia firmei în ceea ce priveşte efectuarea investiţiilor şi efectele deprecierii capitalului asupra evoluţiei întreprinderii analizate.

Investiţiile sunt privite ca sacrificii ale puterii de cumpărare actuale pentru obţinerea de venituri viitoare.

1 Ipotezele modelului sunt:

1.      Maximizarea veniturilor actualizate, pe un orizont de timp infinit;

2.      Pentru a face comparabile fluxurile de venit din diferite intervale de timp se introduce o rată de actualizare i, care reprezintă rata de revenire scontată a acţionarilor;

3.      Firma produce un singur tip de produs pe care-l vinde pe o piaţă perfect competitivă cu un preţ fixat p.

4.      Firma foloseşte două tipuri de factori de producţie: munca şi capitalul, pe care le achiziţionează de pe pieţe competitive, astfel încât salariul mediu şi preţul mediu al capitalului sunt fixate (w, c).

2 Ecuaţiile modelului sunt:

1.      Ecuaţia venitului

R(t) = p · Q(K(t), L(t)) – w·L(t) – c·I(t)                                           (1)

unde:

R(t) = venitul net (profitul) la momentul t;

Q(t) = producţia fizică la momentul t;

I(t) = investiţia brută la momentul t;

K(t) = stocul de capital fix şi circulant la momentul t;

L(t) = volumul forţei de muncă la momentul t;

c = preţul unitar al bunurilor capital;

w = preţul unitar al muncii (salariul mediu);

 

2.      Ecuaţia de dinamică a capitalului

 = I(t) – a·K(t)                                                                         (2)

unde:

  = investiţia netă;

a = rata de depreciere a capitalului (Obs: aceasta reprezintă o depreciere exponenţială a capitalului)

Obs: Ecuaţia de mai sus este o ecuaţie liniară în K(t). Rezolvarea acesteia se reduce la rezolvarea ecuaţiei omogene:

                                                                              (3)

care are soluţia generală:

KG(t) = A · e–at                                                                                 (4)

iar, dacă KP(t) este o soluţie particulară a ecuaţiei liniare, soluţia generală a ecuaţiei liniare va fi:

K(t) = A · e–at + KP(t)                                                                       (5)

3 Funcţia de producţie are proprietăţile:

Crescătoare:                                                             (6)

Strict concavă:      (7)

-        Venituri descrescătoare la scală

Pentru ca activitatea de producţie să demareze este necesar ca venitul marginal al fiecărui factor să depăşească costul său marginal:

                                                                      (8)

unde:

c(i + a) = costul marginal al capitalului: pentru fiecare unitate monetară cheltuită pe bunuri capital trebuie asigurată revenirea (venitul) acţionarilor şi trebuie plătită amortizarea;

w = costul unitar al muncii

4 Modelul matematic este:

         (9)

                                                                     (10)

-  restricţie asupra variabilei de comandă

Imin Ł I(t) Ł Imax                                                               (11)

restricţia de nenegativitate asupra variabilei de stare:

K(t) ł 0                                                                                         (12)

K(0) = K0 ł 0                                                                                (13)

şi reprezintă o problemă de control optimal.

5 Rezolvarea matematică a modelului se face utilizând principiul lui Pontreaghin.

Deoarece funcţia obiectiv (9) este cu actualizare (apare e–it) construim hamiltonianul ajustat (fără actualizare):

H(K(t),L(t),I(t),l(t),t) = {p·Q(K(t), L(t)) – w·L(t) – c·I(t)} + l(t)·(I(t) – a·K(t))        (14)

unde variabila adjunctă va fi exprimată în acest caz prin transformata:

Y(t) = eit∙l(t)                                                                                 (15)

l(t) fiind variabila adjunctă corespunzătoare hamiltonianului H(∙) care conţine termenul de actualizare e–it, variabilă despre care se ştie că verifică ecuaţia de dinamică:

= –                                                                           (16)

de unde rezultă:

= i∙Y(t) – eit∙                                                            (17)

sau, mai general, teorema:

Teoremă: Dacă X(t) este vectorul variabilelor de stare şi H(∙) este hamiltonianul asociat unei probleme de control optimal fără restricţii atunci variabilele adjuncte Y(t) folosite în construcţia hamiltonianului, prin excluderea factorului de actualizare (e–it) din funcţia-obiectiv, verifică ecuaţia de dinamică:

= i∙Y(t) – eit∙ = i∙Y(t) –   unde H(t) = e-it ∙ Hajustat(t)

(18)

Dacă există şi restricţii asupra variabilelor, ca în cazul de faţă restricţiile:

 

Imin Ł I(t) Ł Imax

K(t) ł 0

 

atunci definim Lagrangeanul asociat problemei:

L(L(t), K(t), l(t), m1(t), m2(t), n(t)) =

= H(L(t), K(t), l(t)) + m1(t)·(I(t) – Imin) + m2(t)·(Imax – I(t)) + n(t)·K(t) =

= {p·Q(K(t), L(t)) – w·L(t) – c·I(t)} + l(t)·(I(t) – a·K(t)) + m1(t)·(I(t) – Imin) + m2(t)·(Imax – I(t)) + n(t)·K(t)

(19)

unde n­(t) este multiplicatorul asociat restricţiei asupra variabilei de stare K(t) iar m1(t) şi m3­(t) multiplicatorii asociaţi restricţiilor asupra variabilei de decizie I(t).

Ecuaţia de dinamică (16) a variabilei adjuncte l(t) trebuie înlocuită cu ecuaţia:

= i∙Y(t) – eit∙(t)                                                             (20)

Sistemul de condiţii Kuhn-Tucker se reduce la condiţiile:

= – c + Y(t) + m1(t) – m2(t) = 0                                         (21)

                                                          (22)

şi:

m1(t)· (I(t) – Imin) = 0                                                                      (23)

m2(t)· (Imax – I(t)) = 0                                                                      (24)

n(t)·K(t) = 0                                                                                  (25)

m1(t), m2(t), n(t) ł 0                                                                        (26)

care este un sistem de 5 ecuaţii cu 5 necunoscute: I, L, m1, m2 şi n, din care vom scoate variabilele de decizie I şi L în funcţie de variabila de stare K şi de variabila adjuncte Y.

În final, variabila de stare K(t) va fi găsită din sistemul de ecuaţii diferenţiale format din ecuaţia de dinamică a variabilei de stare (10) la care se adaugă ecuaţia de  dinamică a variabilei adjuncte, rezultând un sistem SD de 2 ecuaţii diferenţiale cu 2 necunoscute (K(t),Y(t)):

SD:
 
                                                                     (10)

= i∙Y(t) – eit∙(t) = (i + a)∙Y(t) – p∙ (t) – n(t)       (27)

cu valoarea iniţială K(0) = X0 şi condiţia de transversabilitate :

Y(t) = finit                                                                                (28)

Revenind la sistemul de condiţii Kuhn-Tucker, deoarece nu putem accepta situaţia în care capitalul este nul pe întregul orizont de timp analizat, pentru ecuaţia (25) analizăm doar soluţia:

n(t) = 0                                                                                          (29)

Din (22) rezultă:

                                                                              (30)

adică venitul marginal al muncii = costul marginal, de unde:

                                                                                  (31)

care spune că productivitatea marginală a muncii este constantă pe traiectoria de optim, de unde rezultă că funcţia de producţie Q este liniară în L. Cum Q(K,L) este strict concavă rezultă că este strict concavă în K şi, în concluzie, derivata  este strict descrescătoare şi implicit, injectivă. Rezultă că fiecărei valori a productivităţii marginale a capitalului (= panta funcţiei Q(K)) îi corespunde o singură valoare a capitalului K de unde rezultă că punctul de optim (L*, K*) este unic.

Fiecare din ecuaţiile (23) şi (24) implică 2 cazuri (mi = 0 sau mi ą 0, i = 1,2) rezolvarea sistemului presupunând analiza a 22 = 4 variante, care pot fi sintetizate conform tabelului de mai jos:

 

 

Traiectoria

m1

m2

I(t)

I

+

+

Imin = I(t) = Imax

II

+

0

I(t) = Imin

III

0

+

I(t) = Imax

IV

0

0

Imin Ł I(t) Ł Imax

6 Analiza traiectoriilor

Traiectoria I: (m1 > 0, m2 > 0)

Rezultă că I(t) = Imin = Imax ceea ce este absurd deoarece s-a presupus că Imin < 0 < Imax sau echivalent spus traiectoria I nu este admisibilă.

Traiectoria II: (m1 = 0, m2 > 0)

Implică I(t) = Imin iar ecuaţia de dinamică a capitalului va avea soluţia:

K(t) = A × e–at +                                                                       (32)

unde A se obţine din condiţia iniţială K(0) = K0, rezultând:

K0 = A +  Ţ A = K0 –                                                    (32')

şi în final traiectoria:

K(t) = (K0 – ) × e–at +                                                      (32")

Deoarece Imin < 0 rezultă că pentru valori suficient de mari ale lui t ar rezulta K(t) < 0 în contradicţie cu condiţia K(t) > 0 şi, în concluzie, această traiectorie nu poate fi cea finală.

Traiectoria III: (m2 = 0, m1 > 0)

Implică I(t) = Imax şi ecuaţia de dinamică va fi:

K(t) = A×e–at +                                                                        (33)

unde A se obţine din condiţia iniţială K(0) = K0, rezultând:

K0 = A +  Ţ A = K0 –                                                   (33')

şi în final traiectoria:

K(t) = (K0 – ) × e–at +                                                     (33")

Pentru valori suficient de mari ale lui t, avem:

K(t) @                                                                                     (34)

şi ţinând cont că n(t) = 0, rezultă ecuaţia de dinamică a variabilei adjuncte:

 = (i + a)∙Y(t) – p∙ (t)                                                   (35)

care are soluţia:

  Ţ                      (36)

Cum Q(×) concavă şi crescătoare Ţ  pozitivă şi descrescătoa­re, ceea ce implică faptul că  admite asimptotă orizontală la +Ą:

 = a ł 0                                                                         (37)

care spune că soluţia particulară YP(t) poate fi aproximată la +Ą cu soluţia particulară a ecuaţiei:

= (i + a)∙Y(t) – p∙a                                                               (38)

adică:

YP(t) »  = constant                                                                (39)

În concluzie:

                                                                                   (40)

şi nu respectă condiţia de transversalitate, adică nu poate fi soluţia finală.

Traiectoria IV: (m1 = m2 = 0)

Condiţiile Kuhn-Tucker devin:

Y(t) = c Ţ                                                                       (41)

şi:

                                                                                  (42)

Din ecuaţia implicită (42) se scoate variabila de decizie L(t) în funcţie de variabila de stare K(t):

L = f(K)                                                                                         (43)

Introducând relaţiile (41) şi (43) în ecuaţia de dinamică a variabilei adjuncte (27) rezultă:

(i + a)∙c – p∙ (t) = 0                                                  (44)

şi obţinem:

(t) =                                                            (45)

Ecuaţia (45) este o ecuaţie algebrică cu necunoscuta K(t).

Rezolvând această ecuaţie rezultă:

K(t) = K* = constant                                                                     (46)

de unde:

 = 0                                                                                        (47)

Înlocuind rezultatul (46) în relaţia (43) obţinem volumul forţei de muncă:

L(t) = f(K*) = L* = constant  Ţ  = 0                                      (48)

Din ecuaţia de dinamică rezultă valoarea investiţiilor:

I(t) = a×K* = I* = constant                                                             (49)

Deoarece:

                                                                   (50)

rezultă că traiectoria IV satisface condiţia de transversalitate.

În ceea ce priveşte analiza soluţiei finale, avem două variante:

a) Dacă K* = K0, soluţia găsită satisface şi condiţia iniţială şi este soluţia finală.

b) Dacă K* ą K0 soluţia găsită nu satisface şi condiţia iniţială şi nu este soluţia finală.

În acest caz, deoarece nici una din soluţiile găsite nu poate fi singură soluţia finală, căutăm soluţii compuse. Deoarece singura soluţie care satisface condiţia de transversalitate este traiectoria IV, ea va fi soluţia finală pe un interval de tipul [T,Ą). Ea trebuie însă, pentru a se îndeplini şi condiţia iniţială, să fie precedată de cel puţin una din traiectoriile II şi III. În funcţie de relaţia dintre valoarea iniţială a capitalului K0 şi valoarea K* corespunzătoare traiectoriei IV, avem două variante:

Varianta 1:  K* < K0

În acest caz, pentru a ajunge de la valoarea K0 a capitalului la valoare mai mică K* firma trebuie să aplice o politică de consum maxim (I = Imin) care duce la o traiectorie descendentă a capitalului (traiectoria II) până când valoarea capitalului devine K(t) = K*, moment în care firma cuplează pe traiectoria constantă IV.

Momentul de cuplare t* se obţine din relaţia de cuplare K(t) = K*:

K(t) = (K0 – ) × e–at +  = K*                                              (51)

care duce la soluţia:

t* = –∙ ln                                                                     (52)

Pentru ca această comutare să fie acceptabilă este necesar să fie respectate condiţiile de continuitate şi derivabilitate impuse funcţiilor implicate în model.

În acest caz:

m1 > 0 pe traiectoria II şi m1 = 0 pe traiectoria IV

m2 = 0 şi n = 0 pe ambele traiectorii

Pentru claritatea expunerii vom nota cu m1(II) şi m1(IV) cei doi multiplicatori corespunzători celor două traiectorii.

În momentul cuplării trebuie ca m1(II)(t*) = 0 şi de asemenea  = 0.

Pe traiectoria II avem:

m1(II) = c – Y(t)                                                                               (53)

şi prin înlocuirea în ecuaţia de dinamică a variabilei de ajustare avem:

                               (54)

relaţie care, pentru t =  t* implică:

                                                                      (55)

 Evoluţia mărimilor K, L şi I este ilustrată grafic mai jos:

 


Varianta 2:  K* > K0

În acest caz, pentru a ajunge de la valoarea K0 a capitalului la valoare mai mare K*, firma trebuie să aplice o politică de investiţii maxime (I = Imax) care duce la o traiectorie ascendentă a capitalului (traiectoria III) până când valoarea capitalului devine K(t) = K*, moment în care firma cuplează pe traiectoria constantă IV.

Momentul de cuplare t* se obţine din relaţia de cuplare K(t) = K*:

K(t) = (K0 – ) × e–at +  = K*                                             (56)

care duce la soluţia:

t* = –∙ ln                                                                     (57)

Pentru ca această comutare să fie acceptabilă este necesar să fie respectate condiţiile de continuitate şi derivabilitate impuse funcţiilor implicate în model.

În acest caz:

m2 > 0 pe traiectoria III şi m2 = 0 pe traiectoria IV

m1 = 0 şi n = 0 pe ambele traiectorii

În momentul cuplării trebuie ca m2(III)(t*) = 0 şi de asemenea  = 0.

Pe traiectoria III avem:

m2(III) = c – Y(t)                                                                              (58)

şi prin înlocuirea în ecuaţia de dinamică a variabilei de ajustare avem:

                            (59)

relaţie care, pentru t =  t* implică:

                                                                      (60)


Evoluţia mărimilor K, L şi I este ilustrată în graficul următor:

În concluzie traiectoriile optimale în cel mult 2 stadii sunt

1.      Dacă  K(0) = K* :  IV

2.      Dacă  K(0) < K* :  II ® IV

3.      Dacă  K(0) > K* :  III ® IV

 

Deoarece trecerea de pe traiectoria II pe traiectoria III sau reciproc nu este posibilă deoarece ar rezulta funcţii ale multiplicatorilor nederivabile nu sunt admise soluţii de câte trei traiectorii sau mai multe.