Model Dinamic de Analiză a Activităţii

Fără mprumuturi şi Granturi

Ipoteza 1: Firma produce un bun omogen folosind doi factori de producţie: capitalul şi munca.

Ipoteza 2: Modelul dinamic de analiză este un model cu factori de producţie complementari, funcţia de producţie este liniară, proporţia ntre factorii de producţie rămnnd constantă. Activitatea de producţie este un proces prin care este fabricat produsul finit din muncă şi capital. Sunt presupuse două activităţi de producţie:

-  activitatea 1: capital intensivă (raportul K/L este mare);

-  activitatea 2: forţa de muncă intensivă (raportul K/L este mic).

Funcţia de producţie este dată de:

(1)               Q(t) = q1K1(t) +q2K2(t)

unde Q(t) este producţia fizică (omogenă).

Veniturile sunt constante la scala de fabricaţie (funcţia de producţie este liniară).

Productivitatea medie a capitalului din activitatea j = 1,2 este:

qj = , j = 1,2

Ecuaţia de formare a forţei de muncă este:

(2)               L(t) = l1K1(t) + l2K2(t)

iar compoziţia organică a capitalului:

lj = , j =1,2

Ecuaţia de formare a bunurilor capital:

(3)               K(t) = K1(t) + K2(t)

Ipoteza 3: Pentru activitatea 1 activitate capital intensivă, vom avea condiţiile:

K1 > K2

L1 < L2

de unde rezultă:


productivitatea muncii este mai mare n activitatea 1.

Ipoteza 3: Piaţa producţiei finite este cu competiţie imperfectă:

Ipoteza 4: Funcţia de cştig:

(4)               S(K1(t), K2(t)) = (q1p(Q)-wl1) + (q2p(Q)-wl2)K2(t)

Ipoteza 5: Singura structură de finanţare este autofinanţarea:

(5) X(t) = K(t)

Ipoteza 6: Ecuaţia de evoluţie a acţiunilor:

(6) = S(K1(t), K2(t)) aK(t) D(t); X(0) = K0 > 0

Ipoteza 7: Ecuaţia de evoluţie a bunurilor capital (investiţia netă):

(7) = I(t) aK(t); K(0) = K0 > 0

Ipoteza 8: Funcţionala obiectiv:

+ X(T)e-iT

Restricţii momentane:

(8) D(t) 0

(9) K1(t)0

(10)           K2(t)0

Din I(t) aK(t) = S(K1, K2) aK(t) D(t)

(11) D(t) = S(K1, K2) I(t)0

nlocuim X(t) cu K(t) şi K2(t) cu K(t) K1(t) şi vom obţine modelul:

(12) + K(T)e-iT

(13) = I(t) aK(t); K(0) = K0 > 0

(14) K(t) K1(t)0

(15) K1(t)0

(16) S(K1(t), K2(t)) I(t)0

Rezolvarea modelului

Lagrangeanul problemei:

(17) L(K(t),I(t),K1(t),l(t),m1(t),m2(t),m3(t)) = (S(K(t), K1(t)) I(t))(1+m3(t)) + l(t)(I(t) aK(t)) + m1(t)(K(t) K1(t)) + m2(t)K1(t)

Condiţiile de optim:

(18)

(19)

(20)

(21)           m1(t)(K(t) K1(t)) = 0

(22)           m2(t)K1(t) = 0

(23)           m3(t) (S(K(t), K1(t)) I(t)) = 0

(24)           m1(t), m2(t), m3(t)0

(25)           l(T) = 1

Datorită concavităţii Lagrangeanului şi a restricţiilor, condiţiile necesare sunt şi suficiente.

Calcule preliminare:

(26)           Q(t) = (q1 q2)K1(t) + q2K(t); L(t) = (l1 l2)K1 + l2K(t)

(27)  S(K(t), K1(t)) = V(Q) (wl1 wl2)K1(t) wl2K(t); V(Q) = p(Q)Q

(28)           ;

(29)          

(30)          

Observaţie:

;

Costurile unitare:

(31)           cj = , c1 c2 c21

unde:

wlj salariile pe o unitate de bun capital

i revenirea pe o unitate de capital investit (de bun capital)

a amortizarea pe o unitate de bun capital

(32)           c21 =

c21 costul unitar al trecerii de la activitatea 2 la activitatea 1

 


Traiectorii admisibile

Tr. Nr.

m1(t)

m2(t)

m3(t)

Activitatea

Q

Politica firmei

1

0

+

+

2

+

<Q*21

creştere cu activitatea 2

2

0

+

0

2

0

Q*2

staţionară, dividende, activitatea 2

3

0

0

+

21

+

Q*21

trecere de la activitatea 2 la activitatea 1

4

+

0

+

1

+

>Q*21

creştere cu activitatea 1

5

+

0

0

1

0

Q*1

staţionară, dividende, activitatea 1

Traiectorii inadmisibile

a)    m1(t) > 0, m2(t) > 0 K(t) = K1(t), K(t) = 0 K(t) = 0 exclus prin ipoteză.

b)   m1(t) = 0, m2(t) = 0, m1(t) > 0, m3(t) = 0

din (19) SK = 0 0 = VQ(q1 q2) + w(l2 l1)

l(t) = m3(t) + 1 ;

dacă m1(t) = m3(t) = 0 din (20) 0 = (i + a)(1+ m3(t)) SK + m1(t) SK = i + a q2VQ = SK + wl2 VQ = (i + a + wl2)= c2

Contradicţie: venitul marginal din vnzări este simultan egal cu costul marginal al activităţii 21 şi al activităţii 2.

Ipoteză:

sau , j = 1, 2, 21

 

Traiectoria 1: m1 = 0, m2 > 0, m3 > 0

(18) l(t) = 1 + m3(t) ,

(20) = (i + a) (1+ m3(t)) SK

(21) K(t) > K1(t)

(22) K1(t) = 0; deci K(t) = K1(t) > 0

(23) S(K(t), K1(t)) I(t) = 0 D(t) = 0; deci nu se plătesc dividende, tot ceea ce se cştigă se reinvesteşte.

S(K1(t),K2(t)) = I(t) (ecuaţia de balanţă fiind K(t) = X(t))

(19)

(29)

Pe traiectoria 1, .

-  la nceputul traiectoriei:

-  la sfrşitul traiectoriei:

La sfrşitul traiectoriei 1:

Traiectoria 2: m1(t) = 0, m2(t) > 0, m3(t) = 0

(18) l(t) = 1

(19)

(19)+(29)

(20) 0 = (i + a) SK SK = (i + a)

(30), traiectoria 2 este staţionară.

(23) , se plătesc dividende.

(22) K(t) = 0 K(t) = K2(t)

(21) K(t) > K1(t) > 0; rezultă Q*2 < Q*21 c21 < c2 < c1.

Traiectoria 3: m1(t) = 0, m2(t) = 0, m3(t) > 0

(18) l(t) = m3(t) + 1

(19)

(20)

(21) K(t) = K1(t) K2(t) = 0

(22) K1(t) > 0; deci rezulta ca si (este activitate de relocare)

(23)

Pe traiectoria 3: m3(t) > 0

-         la nceputul traiectoriei: ,

(i + a)(1 + m3(t)) SK > 0 SK < (i + a)(1 + m3(t)) (deoarece m3(t) = 0) SK < (i + a) Q(t) > Q*2 Q*21 > Q*2 c1 < c2 < c21

Traiectoria 4: m1(t) > 0, m2(t) = 0, m3(t) > 0

(18) l(t) = m3(t) + 1

(19)

(20)

(21) K(t) = K1(t) K2(t) = 0

Q(t) = (q1-q2)K1(t) + q2K(t) = (q1 q2) K1(t) + q2K1(t) = q1K1(t)

*= V (wl1 wl2)K1(t) wl2K(t) = V (wl1 wl2)K1(t) wl2K1(t) = V wl1K1(t)

Pe traiectoria 4: m3(t) > 0

-  la nceputul traiectoriei: ,

SK > m1(t) - (i + a)(1 + m3(t)) SK < - m1(t) + (i + a)(1 + m3(t)) (deoarece m3(t) > 0) SK < (i + a)(1 + m3(t)) SK < (i + a) Q(t) > Q*1

- la sfrşitul traiectoriei 4: ,

SK > i + a Q(t) < Q1*

Q21* < Q(t) < Q1* c1 < c2 < c21

Traiectoria 5: m1(t) > 0, m2(t) = 0, m3(t) = 0

(18) l(t) = 1

(19) Q(t) > Q21*

(20) - SK = m1(t) (i + a) SK = i + a - m1(t)

(21) K(t) = K1(t) K2(t) = 0

(22) K1(t) > 0

(23) S(t) I(t) > 0 S(t) > I(t) D(t) > 0

Observaţie:

, deoarece

Q(t) = Q1*, traiectorie staţionară.

Rezultă Q1* > Q21* c1 < c2 < c21

Traiectorii finale

Trebuie să verifice condiţiile de transversalitate:

l(T) = 1

l(T) = m3(T) + 1 m3(T) = 0 numai traiectoriile 2 şi 5 pot fi traiectorii finale.

Traiectoria 2 este finală dacă K(T) = K2(T) si c21 < c2 < c1.

Traiectoria 5 este finală dacă K(T) = K1(T) si c1 < c2 < c21.

REZUMAT

Tr. Nr.

m1(t)

m2(t)

m3(t)

Activitatea

Q

Politica firmei

1

0

+

+

2

+

<Q*21

creştere cu activitatea 2

2

0

+

0

2

0

Q*2

staţionară, dividende, activitatea 2

3

0

0

+

21

+

Q*21

relocare de la activitatea 2 la activitatea 1

4

+

0

+

1

+

>Q*21

creştere cu activitatea 1

5

+

0

0

1

0

Q*1

staţionară, dividende, activitatea 1

Traiectorii de magistrală care se finalizează cu Traiectoria 2

TR1TR2

TR1: Q(t) < Q2*; TR2: Q2*; K(t) poate fi continuă şi poate creşte.

TR3TR2

TR2: Q(t) = Q2*; TR2: Q(t) = Q21*; K(t) este discontinuă, TR3 nu poate fi predecesoare.

TR4TR2

TR2: c21 < c2 < c1; TR4: c1 < c2 < c21; contradicţie.

TR5TR2

TR5: K(t) = K1*; TR2: K(t)=K2*; discontinuitatea lui K(t).

Predecesoarele Traiectoriei 1

Traiectoria 2

NU

K discontinuă

Traiectoria 3

NU

K discontinuă

Traiectoria 4

NU

K discontinuă

Traiectoria 5

NU

TR1: c21 < c2 < c1; TR5: c1 < c2 < c21

Traiectorii de magistrală care se finalizează cu Traiectoria 5

Predecesoarele Traiectoriei 5

Traiectoria 1

NU

K discontinuă

Traiectoria 2

NU

inadvertenţă de costuri

Traiectoria 3

NU

K discontinuă

Traiectoria 4

DA

 

Predecesoarele Traiectoriei 4-5

Traiectoria 1

NU

K discontinuă

Traiectoria 2

NU

inadvertenţă de costuri

Traiectoria 3

DA

 

Traiectoria 4

NU

K discontinuă

Predecesoarele Traiectoriei 3-4-5

Traiectoria 1

DA

 

Traiectoria 2

NU

inadvertenţă de costuri

Traiectoria 3

NU

K discontinuă

Traiectoria 4

NU

K discontinuă

Predecesoarele Traiectoriei 1-3-4-5

Traiectoria 1

NU

K discontinuă inadvertenţă de costuri

Traiectoria 2

NU

K discontinuă

Traiectoria 3

NU

K discontinuă

Traiectoria 4

NU

K discontinuă

 

Dacă c21 < c2 < c1 magistrala TR1TR2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Dacă c1 < c2 < c21 magistrala TR1TR3TR4TR5