Modelul Ludwig

Obiectivul modelului Ludwig este maximizarea fluxului (încasărilor) de dividende pe orizontul limitat de timp [0,T] în valoare actualizată:

J = + X(T) (1)

Vom considera că evoluţia capitalului are o dinamică clasică:

= I(t)– a∙K(t) (2)

unde a = coeficientul de depreciere = coeficientul de amortizare

Structura capitalului va fi:

K(t) = X(t) + Y(t) (3)

unde X(t) reprezintă volumul acţiunilor (capitalul social) iar Y(t) volumul datoriilor (împrumuturilor) la momentul t.

Dinamica împrumuturilor este:

= F(t) – b∙Y(t) (4)

unde: F(t) = volumul creditelor

b = cota de rambursare anuală a datoriilor(amortismentul).

Vom presupune în continuare că se verifică ipoteza Ludwig: b = a

În aceste condiţii, din relaţia (3) se obţine, prin derivare, dinamica structurii capitalului:

= + (3')

de unde rezultă succesiv dinamica valorii acţiunilor(capitalului social):

= – Û

= I(t)– a∙K(t) – F(t) + b∙Y(t) Û

= I(t)– a∙(X(t) + Y(t)) – F(t) + b∙Y(t)

şi în final, ţinând cont de ipoteza Ludwig(a = b), rezultă:

= I(t)– a∙X(t) – F(t) (5)

Vom considera că profitul net este ceea ce mai rămâne din venitul brut (R(K(t)) = cifra de afaceri minus costurile cu factorii variabili, inclusiv costurile salariale) după ce se scad costurile cu factorii ficşi (amortizarea capitalului = a∙K(t) şi dobânzile la datorii = r∙Y(t)):

V(t) = R(K(t)) – a∙K(t) – r∙Y(t) (6)

unde r = rata (normală) a dobânzii (lucrăm in ipoteza r ¹ i).

Venitul net obţinut va fi utilizat pentru plata acţionarilor (ca dividende D(t)) şi creşterea capitalului social X(t):

V(t) = D(t) + (7)

Dacă m Î (0,1) este cota parte din profitul net reţinută pentru dezvoltare atunci cerinţa acţionarilor ca dividendele să fie strict pozitive se traduce prin:

D(t) ³ (1 – m)∙V(t) > 0 (8)

Conform acestei cerinţe, creşterea capitalului social este limitată superior:

= V(t) – D(t) £ V(t) – (1 – m)∙V(t) = m∙V(t)

adică:

£ m∙V(t) (8')

Conform (5), cererea de investiţii se calculează cu relaţia:

I(t) = + a∙X(t) + F(t) (9)

şi ţinând cont de (8'), obţinem marginea superioară a acesteia:

I(t) £ m∙V(t) + a∙X(t) + F(t) (10)

sau, conform (6):

I(t) £ m∙(R(K(t)) – a∙K(t) – r∙Y(t)) + a∙X(t) + F(t) (10')

Dacă se face ipoteza: I(t) ³ 0 (nu se admite dezinvestiţia), atunci din ecuaţia de dinamică (2) rezultă:

³ – a∙K(t) sau ³ – a

ceea ce arată că rata de creştere a capitalului poate fi şi negativă, fiind deci posibilă şi descreşterea capitalului (decapitalizarea).

Condiţiile de creditare se impun prin restricţiile:

0 £ F(t) £ g∙I(t) (11)

unde g = este cota maximă a creditelor pentru investiţii (în raport cu facilităţile sistemului bancar).

Observaţie: Dacă cerinţa (11) este verificată, atunci automat I(t) ³ 0 şi această restricţie nu mai apare ca efectivă.

Pornind de la relaţiile (7) şi (5) şi ţinând cont de relaţia (6) obţinem:

(7) Þ D(t) = V(t) – D(t) = V(t) – I(t)+ a∙X(t) + F(t)

D(t) = R(K(t)) – (a + r)∙Y(t) – I(t) + F(t) (12)

care reprezintă ecuaţia dividendelor pe baza căreia obţinem funcţia obiectiv:

J = (R(K(t)) – (a + r)∙Y(t) – I(t) + F(t))dt + X(T) (1')

Vom considera că funcţia de venit R(t) verifică şi condiţiile:

i) > a

ii) < 0

prima condiţie rezultând din restricţia R(K(t)) > a∙K(t) care spune că veniturile trebuie să acopere cel puţin costurile cu factorii variabili şi cei ficşi iar a doua reprezintă legea randamentelor marginale descrescătoare.

Variabilele modelului sunt:

- variabile de stare: X(t) şi Y(t)

- variabile de decizie: I(t) şi F(t)

- variabile de ieşire: K(t), V(t) şi D(t)

Modelul matematic este:

J = (R(K(t)) – (a + r)∙Y(t) – I(t) + F(t))dt + X(T)

= I(t)– a∙X(t) – F(t) X(0) = X₀

= F(t) – a∙Y(t) Y(0) = Y₀

K(t) = X(t) + Y(t)

I(t) £ m∙(R(K(t)) – a∙K(t) – r∙Y(t)) + a∙X(t) + F(t)

0 £ F(t) £ g∙I(t)

m Î (0,1) ; g Î (0,1)

şi reprezintă o problemă de control optimal. Pentru rezolvarea acesteia vom utiliza principiul lui Pontreaghin.

Deoarece funcţia obiectiv (1') este cu actualizare (apare e^–it) construim hamiltonianul ajustat (fără actualizare):

H(X(t),Y(t),I(t),F(t),Y₁(t),Y₂(t)) = R(K(t)) – (a + r)∙Y(t) – I(t) + F(t) + Y₁(t)∙[I(t)– a∙X(t) – F(t)] + Y₂(t)∙[F(t) – a∙Y(t)] (14)

unde variabilele adjuncte sunt exprimate în acest caz prin transformata:

Y_j(t) = e^it∙l_j(t)

l_j(t) fiind variabilele adjuncte corespunzătoare hamiltonianului H(∙) care conţin termenul de actualizare e^–it, variabile despre care se ştie că verifică ecuaţiile de dinamică:

= – şi = –

de unde rezultă:

= i∙Y₁(t) – e^it∙ şi = i∙Y₂(t) – e^it∙ (16)

sau, mai general, teorema:

Teoremă: Dacă X(t) este vectorul variabilelor de stare şi H(∙) este hamiltonianul asociat unei probleme de control optimal fără restricţii atunci variabilele adjuncte Y(t) folosite în construcţia hamiltonianului, prin excluderea factorului de actualizare (e^–it) din funcţia-obiectiv, verifică ecuaţia de dinamică:

= i∙Y(t) – e^it∙ = i∙Y(t) – unde H(t) = e^-it ∙ H_ajustat(t).

Dacă există şi restricţii asupra variabilelor, ca în cazul de faţă restricţiile:

K(t) = X(t) + Y(t)

I(t) £ m∙(R(K(t)) – a∙K(t) – r∙Y(t)) + a∙X(t) + F(t)

0 £ F(t) £ g∙I(t)

atunci definim Lagrangeanul asociat problemei:

L(∙) = H(∙) + m₁(t)∙[g∙I(t) – F(t)] + m₂(t)∙[m∙(R(K(t)) – a∙K(t) – r∙Y(t)) + a∙X(t) + F(t) – I(t)] + m₃(t)∙F(t) (15)

unde m₂(t) este multiplicatorul asociat restricţiei asupra variabilei de decizie I(t) iar m₁(t) şi m₃(t) multiplicatorii asociaţi restricţiilor asupra variabilei de decizie F(t) şi ecuaţiile de dinamică (16) trebuie înlocuite cu ecuaţiile:

= i∙Y₁(t) – e^it∙

= i∙Y₂(t) – e^it∙

Sistemul de condiţii Kuhn-Tucker se reduce la condiţiile:

= 0 (17.a)

= 0 (17.b)

şi:

m₁∙[g∙I – F] = 0 (18.a)

m₂∙[m∙(R(K) – a∙K – r∙Y) + a∙X + F – I] = 0 (18.b)

m₃∙F = 0 (18.c)

care este un sistem de 5 ecuaţii cu necunoscutele I, F, m₁, m₂, m₃ din care vom scoate variabilele de decizie I şi F în funcţie de variabilele de stare X şi Y şi de variabilele adjuncte Y₁ şi Y₂.

În cazul de faţă, sistemul condiţiilor Kuhn-Tucker are forma:

–1 + Y₁ + g∙m₁ – m₂ = 0 (17'.a)

1 – Y₁ + Y₂ – m₁ + m₂ + m₃ = 0 (17'.b)

m₁∙[g∙I – F] = 0 (18.a)

m₂∙[m∙(R(K) – a∙K – r∙Y) + a∙X + F – I] = 0 (18.b)

m₃∙F = 0 (18.c)

şi restricţiile de semn: m₁(t),m₂(t),m₃(t),I(t),F(t) ³ 0

În final, variabilele de stare X(t) şi Y(t) vor fi găsite din sistemul de ecuaţii diferenţiale format din ecuaţiile de dinamică ale variabilelor de stare (4) şi (5) la care se adaugă ecuaţiile de dinamică ale variabilelor adjuncte, rezultând un sistem SD de 4 ecuaţii diferenţiale cu 4 necunoscute (X(t), Y(t), Y₁(t), Y₂(t)):

= F(t) – a∙Y(t) (4)

= I(t)– a∙X(t) – F(t) (5)

= i∙Y₁(t) – =

SD:

= – + (i + a)∙Y₁(t) - m₂(t)∙[m∙+ a∙(1 – m)] (16.a)

= i∙Y₂(t) – =

= (i + a)∙Y₂(t) – ∙[1 +m∙m₂(t)] + (a + r)∙[1 + m∙m₂(t)] (16.b)

cu valorile iniţiale X(0) = X₀, Y(0) = Y₀ plus valorile finale:

Y₁(T) = 1 şi Y₂(T) = 0 (16.c)

Observaţie: În formulele in sistem am folosit faptul că:

= ∙ = ∙ =

= ∙ = ∙ =

Revenind la sistemul de condiţii Kuhn-Tucker, deoarece fiecare din ultimele trei ecuaţii implică 2 cazuri (m_i = 0 sau m_i ¹ 0, i = 1,2,3) rezolvarea sistemului presupune analiza a 2³ = 8 variante, care pot fi sintetizate conform tabelului de mai jos:

Varianta	m1	m2	m3
I	+	+	+
II	+	+	0
III	+	0	+
IV	0	+	+
V	0	0	+
VI	0	+	0
VII	+	0	0
VIII	0	0	0

În continuare vom analiza succesiv fiecare variantă (traiectorie).

Varianta I: m₁(t), m₂(t), m₃(t) > 0

Din condiţiile Kuhn-Tucker rezultă:

g∙I(t) – F(t) = 0 (18.a.I)

m∙V(t)+ a∙X(t) + F(t) – I(t) = 0 (18.b.I)

F(t) = 0 (18.c.I)

de unde:

I(t) = F(t) = 0 (18'.a.I) şi (18'.c.I)

şi:

m∙V(t)+ a∙X(t) = 0 (18'.b.I)

Ultima relaţie fiind în contradicţie cu ipotezele a, m Î (0,1) şi V(t), X(t) > 0, rezultă că această variantă nu este posibilă sau că traiectoria corespunzătoare nu este admisibilă.

Varianta II: m₁(t), m₂(t) > 0 şi m₃(t) = 0

Sistemul de condiţii Kuhn-Tucker devine:

g∙I(t) – F(t) = 0 (18.a.II)

m∙V(t)+ a∙X(t) + F(t) = I(t) (18.b.II)

Prima relaţie spune că firma face împrumuturi la nivel maxim. Cele două ecuaţii formează un sistem liniar de 2 ecuaţii cu 2 necunoscute (F(t) şi I(t)), cu soluţia:

F^*(t) = [m∙V(t) + a∙X(t)] (18'.a.II)

I^*(t) = [m∙V(t) + a∙X(t)] (18'.b.II)

Prima arată care este politica de credite şi evident F(t) ³ 0 iar a doua care este nivelul investiţiilor şi de asemenea I(t) ³ 0.

Înlocuind aceste soluţii în sistemul dinamic SD obţinem:

= m∙V(t) = m∙(R(K(t)) – a∙K(t) – r∙Y(t)) (5.II)

= {m∙[R(K(t)) – a∙K(t) – r∙Y(t)] + a∙X(t)} – a∙Y(t) (4.II)

unde K(t) = X(t) + Y(t).

Soluţia acestui sistem depinde de forma funcţiei de venit R(t).

Deoarece V(t) > 0 şi m Î (0,1) rezultă: > 0 deci capitalul social va creşte X(t) . Din (18'.a.II) şi X(t) rezultă F(t) şi de aici Y(t) adică pe traiectoria II datoria firmei creşte.

De asemenea, cum şi X(t) şi Y(t) sunt crescătoare K(t) va fi de asemenea crescător şi ³ 0, firma înregistrând o creştere maximă, prin politica de împrumuturi maxime posibile.

Dinamică variabilelor adjuncte rezultă din ultimele două ecuaţii ale SD:

= – + (i + a)∙Y₁(t) - m₂(t)∙[m∙+ a∙(1 – m)] (16.a)

= (i + a)∙Y₂(t) – ∙[1 +m∙m₂(t)] + (a + r)∙[1 + m∙m₂(t)] (16.b)

Din condiţiile K-T 17'.a şi 17'.b rezultă:

Y₁ = 1 – g∙m₁ + m₂ (17'.a.II)

Y₂ = (1 – g)∙m₂ (17'.b.II)

sau

m₁ = [1 – Y₁(t)] + ∙Y₂(t) (17".a.II)

m₂ = ∙Y₂(t) (17".b.II)

şi în final:

= [1 – ] + ∙ (17'''.a.II)

= ∙ (17'''.b.II)

Ultimele relaţii, în combinaţie cu ecuaţiile de dinamică ale variabilelor adjuncte 16.a şi 16.b duc la un sistem de două ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi neconstanţi, cu două necunoscute, din care vor fi aflate Y₁(t), Y₂(t) şi apoi m₁(t), m₂(t):

= (i + a)∙Y₁(t) – ∙[m∙+ a∙(1 – m)]∙Y₂(t) – (16.a)

= [i + a + m∙∙(a + r –)]∙Y₂(t) + (a + r) – (16.b)

Ultima ecuaţie este o ecuaţie liniară de gradul întâi în Y₂(t) de unde rezultă:

(t) =

apoi:

(t) =

şi în final:

(t) = [1 – (t)] + ∙(t)

(t) = ∙(t)

Pentru ca soluţia să fie admisibilă este necesar ca (t) şi (t) să fie pozitive, dar acest fapt poate fi decis numai după alegerea concretă a lui R(K).

Varianta III. m₁(t) > 0, m₂(t) = 0 şi m₃(t) > 0

Condiţiile K-T devin:

–1 + Y₁ + g∙m₁ = 0 (17'.a.III)

1 – Y₁ + Y₂ – m₁ + m₃ = 0 (17'.b.III)

m₁ > 0, g∙I – F = 0 (18.a.III)

m₂ = 0, m∙(R(K) – a∙K – r∙Y) + a∙X + F – I > 0 (18.b.III)

m₃ > 0, F = 0 (18.c.III)

Rezolvând acest sistem obţinem I(t) = F(t) = 0 oricare ar fi t, deci firma aplică o politică de neapelare la credite şi de investiţii nule (nu se face nici autofinanţare). Din ecuaţia de evoluţie a capitalului (2) obţinem

= –a∙K(t) (2.III)

deci o evoluţie descrescătoare (< 0) a datoriilor firmei:

K^*(t) = K₀∙e^–at (2'.III)

Ecuaţiile de dinamică devin:

= – a∙Y(t) (4.III)

= – a∙X(t) (5.III)

= – + (i + a)∙Y₁(t) (16.a.III)

= (i + a)∙Y₂(t) – + (a + r) (16.b.III)

Din primele două ecuaţii rezultă o evoluţie concomitent descrescătoare a împrumuturilor şi a acţiunilor (< 0 şi < 0) pe traiectoriile:

Y^*(t) = Y₀∙e^–at (5'.III)

X^*(t) = X₀∙e^–at (4'.III)

şi în final volumul dividendelor:

D(t) = R(K^*(t)) – (a + r)∙Y^*(t) (12.V)

Varianta IV. m₁(t) = 0, m₂(t) > 0 şi m₃(t) > 0

Condiţiile K-T devin:

–1 + Y₁ – m₂ = 0 (17'.a.IV)

1 – Y₁ + Y₂ + m₂ + m₃ = 0 (17'.b.IV)

m₁ = 0, g∙I – F > 0 (18.a.IV)

m₂ > 0, m∙(R(K) – a∙K – r∙Y) + a∙X + F – I = 0 (18.b.IV)

m₃ > 0, F(t) = 0 (18.c.IV)

Rezolvând acest sistem obţinem:

Y₁ = 1 + m₂ Þ = (17".a.IV)

Y₂ = –m₃ Þ = – (17".b.IV)

m₁ = 0, g∙I > 0 Þ I > 0 (18'.a.IV)

m₂ > 0, I = m∙(R(K) – a∙K – r∙Y) + a∙X (18'.b.IV)

m₃ > 0, F(t) = 0 (18'.c.IV)

Pe această traiectorie se aplică deci o politică fără credite (18'.c.IV) şi există investiţii (18'.a.IV), care vor fi făcute din surse proprii (autofinanţare). Numim această politică "autofinanţare pură".

Înlocuind rezultatele de mai sus în ecuaţiile de dinamică obţinem sistemul:

= – a∙Y(t) (4.IV)

= m∙(R(K) – a∙K – r∙Y(t)) (5.IV)

= – + (i + a)∙(1 + m₂(t)) - m₂(t)∙[m∙+ a∙(1 – m)] (16.a.IV)

= (i + a)∙m₃(t) + ∙[1 +m∙m₂(t)] – (a + r)∙[1 + m∙m₂(t)] (16.b.IV)

cu condiţiile finale: X(0) = X₀, Y(0) = Y₀, m₂(T) = 0 şi m₃(T) = 0.

Din ecuaţia liniară de gradul I cu coeficienţi neconstanţi (16.a.IV) va fi obţinut multiplicatorul m₂(t), care va fi înlocuit apoi în ecuaţia (16.b.IV) care va deveni o ecuaţie liniară de gradul I cu coeficienţi neconstanţi în m₃(t). Evoluţia pe traiectoria IV are loc atât timp cât m₂(t) şi m₃(t) sunt simultan pozitivi.

Din ecuaţia (4.IV) obţinem o evoluţie descrescătoare (< 0) a datoriilor firmei:

Y^*(t) = Y₀∙e^–at (4'.IV)

Din ecuaţia (5.IV) rezultă dinamica volumului acţiunilor: Avem:

= m∙V(t) > 0 Þ X(t) (5'.IV)

iar evoluţia acţiunilor poate fi dedusă din ecuaţia:

= m∙(R(K) – a∙K – r∙Y(t)) (5.IV)

şi depinde de forma funcţiei profitului R(K).

Cum K(t) = X(t) + Y(t) şi R(K) este neliniară, expresia lui X(t) este greu de determinat analitic. În acest caz se folosesc de obicei aproximările acestei funcţii prin simulări discrete pe calculator.

Varianta V. m₁(t) = 0, m₂(t) = 0 şi m₃(t) > 0

Condiţiile K-T devin:

–1 + Y₁ = 0 (17'.a.V)

1 – Y₁ + Y₂ + m₃ = 0 (17'.b.V)

m₁ = 0, g∙I – F > 0 (18.a.V)

m₂ = 0, m∙(R(K) – a∙K – r∙Y) + a∙X + F – I > 0 (18.b.V)

m₃ > 0, F(t) = 0 (18.c.V)

Ultima relaţie arată că firma acceptă o politică fără credite.

Din a treia rezultă g∙I > 0 deci I > 0 iar din a patra m∙V(t) + a∙X – I > 0. În concluzie:

0 < I(t) < m∙V(t) + a∙X(t) (18'.b.V)

deci firma face investiţii, sursa lor fiind autofinanţarea, limita superioară a investiţiilor fiind partea din profit destinată dezvoltării plus amortizarea părţii din capital definită prin capital social.

Din primele două ecuaţii vom avea:

Y₁(t) = 1 Þ = 0 (17".a.V)

Y₂(t) = –m₃(t) Þ = – (17".b.V)

Sistemul ecuaţiilor de dinamică devine:

= – a∙Y(t) (4.V)

= I(t)– a∙X(t) (5.V)

0 = – + (i + a) (16.a.V)

= (i + a)∙Y₂(t) – + (a + r) (16.b.V)

Din ecuaţia de dinamică a împrumuturilor rezultă că < 0, deci volumul datoriilor descreşte. Valoarea acestora va fi:

Y^*(t) = Y₀∙e^–at (4'.V)

Din a treia relaţie avem:

= (i + a) (16'.a.V)

de unde rezultă o traiectorie staţionară a capitalului, notată pentru a sublinia faptul că finanţarea este proprie (autofinanţare), unde:

= (a + i) (16".a.V)

Legitatea de evoluţie pe traiectoria V impune ca profitul marginal net (– a) să egaleze rata de interes a acţionarilor.

Din ecuaţia de dinamică a variabilei adjuncte Y₂ şi ţinând cont de relaţiile (17".b.V) şi (16'.a.V) rezultă:

= (i + a)∙m₃(t) + (i – r) (16'.b.V)

cu condiţia finală m₃(T) = 0. Soluţia acestei ecuaţii este:

= [1 – e^{–(i + a)∙(T – t)}] (16".b.V)

Condiţia > 0 este îndeplinită numai dacă r > i. În concluzie, evoluţia pe traiectoria V va avea loc atâta timp cât creditele sunt scumpe.

Din (2) rezultă:

I^*(t) = a∙ = ct. (2.V)

Ecuaţia de dinamică a capitalului propriu va fi:

= I^*(t) – a∙X(t) = I^*(t) – a∙ (5.V)

şi va avea soluţia:

X^*(t) = e^–at(X₀ – ) + (5'.V)

În final, putem calcula profitul net:

V^*(t) = R() – a∙ – r∙Y^*(t) (6.V)

şi dividendele:

D^*(t) = R() – a∙ – (a + r)∙Y^*(t) (12.V)

Varianta VI. m₁(t) = 0, m₂(t) > 0 şi m₃(t) = 0

Sistemul de condiţii K-T devine:

–1 + Y₁ – m₂ = 0 (17'.a.VI)

1 – Y₁ + Y₂ + m₂ = 0 (17'.b.VI)

0 = 0 (18.a)

m∙(R(K) – a∙K – r∙Y) + a∙X + F – I = 0 (18.b)

0 = 0 (18.c)

din care rezultă că Y₂(t) = 0 oricare ar fi t şi implicit = 0. De aici rezultă că ecuaţia de dinamică a variabilei adjuncte Y₂(t) devine:

0 = (i + a)∙0 – ∙[1 +m∙m₂(t)] + (a + r)∙[1 + m∙m₂(t)] Û

[a + r – ]∙[1 +m∙m₂(t)] = 0

şi cum m şi m₂(t) sunt pozitive rezultă că:

= a + r (19.VI)

şi R(K) = (a + r)∙K + C, unde constanta C rezultă din condiţiile iniţiale.

Putem astfel considera legitatea: Evoluţia optimă se desfăşoară pe traiectoria VI atâta timp cât venitul marginal din vânzări este egal cu rata dobânzii la credite.

Conform (19.VI) care este o ecuaţie algebrică în K rezultă K(t) = = ct. unde am folosit indicele _YX pentru a arăta că sursa de finanţare este fundamentată atât pe credite (Y) cât şi pe autofinanţare (X), unde:

= (19'.VI)

sau:

= (a + r) (19".VI)

Din sistemul de condiţii K-T rezultă şi:

Y₁ = 1 + m₂

şi:

=

Înlocuind în ecuaţia de dinamică a variabilei adjuncte Y₁ obţinem:

= – + (i + a)∙[1 + m₂(t)] - m₂(t)∙[m∙+ a∙(1 – m)]

şi cum = a + r vom avea:

= – a – r + (i + a)∙m₂(t) - m₂(t)∙[m∙(a + r)+ a∙(1 – m)] Û

= (i – m∙r)∙m₂ + i – r (16".a.VI)

care împreună cu condiţia finală m₂(T) = Y₁(T) – 1 duce la soluţia:

(t) = ∙[1 – e^{–(i – r∙m)(T – t)}] (23.VI)

Studiind semnul acestei soluţii în funcţie de parametrii i, r şi m şi variabila t în tabelul de mai jos:

	r – i	i – r∙m		1 – e^–(i – r∙m)(T – t)	(t)
i < r∙m	+	–	–	–	+
i = r∙m	+	0	/	0	/
r∙m < i < r	+	+	+	+	+
i = r	0	+	0	+	0
i > r	–	+	–	+	–

rezultă că este îndeplinită condiţia de admisibilitate (t) > 0 doar dacă i > r şi m ¹ .

Pentru i > r şi m ¹ vom avea din sistemul de condiţii K-T:

m₁ = m₃ = Y₂ = 0

m₂ = Y₁ – 1

I – F = m∙(R() – a∙ – r∙Y) + a∙X

care conduc la sistemul de ecuaţii de dinamică:

= F(t) – a∙Y(t) (4)

= m∙(R() – a∙ – r∙Y) (5.VI)

= 1 + (t) = ! + ∙[1 – e^{–(i – r∙m)(T – t)}] (23'.VI)

0 = 0 (16.b)

În plus, avem:

X(t) + Y(t) = care duce la + = 0

şi ecuaţia de dinamică a capitalului (2) care devine:

0 = I(t)– a∙ de unde I^*(t) = a∙ = ct.

De aici rezultă imediat:

F^*(t) = a∙ – m∙(R() – a∙ – r∙Y) – a∙[ – Y(t)] (18'.b.VI)

care înlocuită în ecuaţia de dinamică (4) duce la:

= a∙ – m∙(R() – a∙ – r∙Y) – a∙[ – Y(t)] – a∙Y(t) Û

= – m∙(R() – a∙ – r∙Y) = – m∙V() < 0

În concluzie, pe traiectoria VI are loc o diminuare a datoriilor firmei. Din ecuaţia liniară de mai sus rezultă soluţia:

Y^*(t) = e^r∙m∙t(Y₀ – Y^*) + Y^* (4'.VI)

unde nivelul de echilibru Y^* este:

Y^* = (4".VI)

Evoluţia capitalului social X(t) rezultă imediat din relaţia X(t) + Y(t) = ca fiind:

X^*(t) = – Y^*(t)

şi în plus, cum + = 0 şi < 0 rezultă că > 0 deci se duce o politică de consolidare a firmei.

În ceea ce priveşte nivelul creditelor F(t), din condiţiile K-T rezultă:

0 < F^*(t) < g∙I^*(t)

ceea ce înseamnă că întreprinderea face apel la credite dar nu la nivel maxim.

Acest nivel este dat de (18'.b.VI) şi (4'.VI) + (4".VI):

F^*(t) = a∙ – m∙(R() – a∙ – r∙Y^*(t) ) – a∙[ – Y^*(t)] =

= – m∙(R() – a∙ – r∙Y^*(t) ) + a∙Y^*(t)

= (a + m∙r)∙Y^*(t) – m∙[R() – a∙]

Cum Y^*(t) este descrescătoare rezultă că nivelul creditelor este în scădere.

Deoarece

F^*(t) = – m∙(R() – a∙ – r∙Y^*(t) ) + a∙Y^*(t) = – m∙V^*(t) + a∙Y^*(t)

din inegalităţile 0 < F^*(t) < g∙I^*(t) vom avea:

a∙Y^*(t) + g∙I^*(t) > m∙V^*(t) + g∙I^*(t) > a∙Y^*(t)

relaţie care reflectă politica de consolidare a firmei pe traiectoria VI: "partea din profitul net alocată pentru dezvoltare (m∙V^*(t)) plus împrumuturile pentru investiţii (g∙I^*(t)) depăşeşte amortismentul (a∙Y^*(t))".

Varianta VII. m₁(t) > 0, m₂(t) = 0 şi m₃(t) = 0

Sistemul de condiţii Kuhn-Tucker devine:

–1 + Y₁ + g∙m₁ = 0 (17''.a.VII)

1 – Y₁ + Y₂ – m₁ = 0 (17''.b.VII)

g∙I – F = 0 (18'.a.VII)

0 = 0 (18'.b.VII)

0 = 0 (18'.c.VII)

de unde rezultă:

m₁ = ∙Y₂(t) (17".1)

Y₁(t) = 1 – ∙Y₂(t) (17".2)

g∙I(t) = F(t) (17''.3)

Sistemul dinamic SD devine:

= F(t) – a∙Y(t) (4.VII)

= I(t)– a∙X(t) – F(t) (5.VII)

= – + (i + a)∙Y₁(t) (16.a.VII)

= (i + a)∙Y₂(t) – + (a + r) (16.b.VII)

Conform relaţiei 17".2 vom avea:

= – ∙ (17'''.2)

Înlocuind 17'''.2 şi 17".2 în 16.a.III obţinem:

– ∙= – + (i + a)∙(1 – ∙Y₂(t)) Û

= (i + a)∙Y₂(t) + ∙– (i + a)∙ (16'.a.VII)

Combinând această relaţie cu 16.b.III rezultă:

– + (a + r) = ∙– (i + a)∙ Û

= g(a + r) + (i + a)∙(1 – g) = a + (1 – g)∙i + g∙r = constant (19.VII)

În concluzie, evoluţia optimă are loc pe traiectoria VII atâta timp cât venitul marginal net ( – a) este constant şi egal cu suma ponderată a ratelor de interes (rata dobânzii "r" şi rata de creştere a acţiunilor "i"), unde ponderea g este rata maximă a împrumuturilor pentru investiţii.

De asemenea, capitalul este staţionar, el fiind soluţia ecuaţiei algebrice:

R^/(K) = g(a + r) + (i + a)∙(1 – g)

adică:

= [g(a + r) + (i + a)∙(1 – g)] (19".VII)

Obs. Ecuaţia (19') are soluţie unică, conform proprietăţilor i) şi ii) ale funcţiei R(K).

Vom avea deci = 0 şi conform ecuaţiei de dinamică (2) vom avea că valoarea investiţiei este staţionară şi anume:

I^*(t) = a∙ = constant (20.1)

De asemenea, din relaţia 17".3 rezultă că şi volumul creditelor este constant şi anume:

F^*(t) = g∙I^*(t) = g∙a∙= constant (20.2)

Firma apelează deci la volumul maxim al creditelor ce i se pot acorda pentru investiţia I^*, conform definiţiei coeficientului g.

Dinamica variabilelor adjuncte

Revenind la sistemul dinamic SD, ecuaţia (16.a.VII) devine:

= (i + a)∙Y₁(t) – (a + (1 – g)∙i + g∙r ) (16'.a.VII)

care este o ecuaţie liniară în Y₁(t) a cărei soluţie este:

Y₁(t) = C∙e^{(i + a)t} + 1 + g∙

Constanta C va fi aflată din condiţia: Y₁(T) = 1, din care rezultă:

1 = C∙e^{(i + a)T} + 1 + g∙Û C = –g∙∙e^{–(i + a)T}

În final obţinem soluţia:

Y₁(t) = g∙∙[1 – e^{(i + a)(t–T)}] + 1 (21)

Din relaţia 17".2 rezultă

Y₂(t) = (1 – g)∙∙[1 – e^{(i + a)(t–T)}] (22)

care verifică Y₂(T) = 0.

Din relaţia 17".1 şi ţinând cont de condiţia de semn m₁ > 0 şi g Î (0,1) rezultă condiţia: Y₂(t) > 0 care se verifică numai dacă i > r .

Deci politica K(t) = = constant poate fi aplicată numai dacă creditele sunt ieftine (r < i).

În final, variabilele de stare rezultă din sistemul:

= – a∙X(t) + a∙ – a∙g∙ (5'.VII)

= – a∙Y(t) + a∙g∙ (4'.VII)

cu condiţiile iniţiale X(t) = X₀ şi Y(t) = Y₀.

Soluţia este:

X^*(t) = (X₀ – X^*)e^–at + X^* unde X^* = (1 – g)∙ (5".VII)

Y^*(t) = (Y₀ – Y^*)e^–at + Y^* unde Y^* = g∙ (4".VII)

De aici rezultă evoluţia valorii capitalului K(t) spre valoarea de echilibru :

K^*(t) = (K₀ – K^*)e^–at + K^* unde K^* = (2'.1)

şi volumul dividendelor pe traiectoria VII:

D^*(t) = R(K^*(t)) – (a + r)∙Y^*(t) – a∙(1 – g)∙ (12')

de unde R^*(t) = R(K^*(t)) este venitul de-a lungul traiectoriei K^*(t).

Varianta VIII. m₁(t) = 0, m₂(t) = 0 şi m₃(t) = 0

Condiţiile K-T devin:

–1 + Y₁ = 0 (17'.a.VIII)

1 – Y₁ + Y₂ = 0 (17'.b.VIII)

m₁ = 0, g∙I – F > 0 (18.a.VIII)

m₂ = 0, m∙(R(K) – a∙K – r∙Y) + a∙X + F – I > 0 (18.b.VIII)

m₃ = 0, F > 0 (18.c.VIII)

de unde:

Y₁(t) = 1 Þ = 0 (17".a.VIII)

Y₂(t) = 0 Þ = 0 (17".b.VIII)

Ecuaţiile de dinamică devin:

= F(t) – a∙Y(t) (4.VIII)

= I(t)– a∙X(t) – F(t) (5.VIII)

0 = – + (i + a) (16.a.VIII)

0 = – + (a + r) (16.b.VIII)

Din ultimele două ecuaţii rezultă:

i + a = = a + r (16.VIII)

şi, în final:

i = r (16'.VIII)

ceea ce contrazice ipoteza i ¹ r, deci traiectoria nu este admisibilă.

În concluzie singurele traiectorii admisibile sunt II … VII.

Sinteza traiectoriilor optim admisibile. Strategii optime

În funcţie de situaţia internă – reflectată prin nivelul venitului marginal net ( – a) şi de echilibrul macroeconomic (reflectat prin ecartul rata dobânzii – rata de randament a acţiunilor ( r – i)), firma poate aplica şase politici optimale. Prin combinarea lor în mod optimal se vor obţine, aşa cum vom arăta, două strategii optimale, în funcţie de condiţiile de creditare.

Sinteza rezultatelor privind cele 6 politici optimale analizate mai sus este prezentată în tabloul sinoptic:

Indicatori Politici optime	Variabile de decizie		Variabile de stare				Dt	Starea firmei şi condiţii
						Kt
II –III	Max	Max	+	+	+		Min	Creştere maximă prin credite şi autofinanţare
III – VI	0	0	–	–	–			contracţie
IV – V	Max	0	+	–	+		Min	Creştere maximă prin autofinanţare
V – IV	a ∙	0	+	–	0	= const		Staţionară prin autofinanţare pură (r > i)
VI – II	a ∙	Moderat	+	–	0		Min	Consolidare prin credite şi autofinanţare (r > i)
VII – I	a ∙	a∙g∙ = max	±		0	= const.		Staţionară prin credite maxime (r < i)

unde:

= = g∙r + (r – g)∙

= =

= =

Din condiţiile de creditare (credite scumpe (r > i) sau ieftine (r < i)), se identifică două strategii optime:

Cazul 1. Credite ieftine (r < i)

Traiectoria staţionară optimă va fi drumul (VII), cu K_t = = const. În consecinţă, firma va adopta strategia:

a) dacă K₀ > , adică firma deţine la momentul iniţial un stoc al bunurilor de capital (K₀) superior nivelului optim staţionar , se va aplica o politică de descreştere (contracţie), urmând pe termen scurt (TS) drumul optimal (III) – indiferent dacă creditele sunt ieftine sau scumpe, reducând datoriile Y_t (< 0), acceptându-se descreşterea capitalului social (< 0). În concluzie, pe termen scurt, pe perioada t Î [0,t₃₇], firma trebuind să intre într-un proces de decapitalizare, urmând traiectoria optimă III, până atinge nivelul optim , adică traiectoria optimă VII, moment notat t₃₇; acest punct este momentul de comutaţie de pe traiectoria III pe traiectoria VII (vezi figura 1). Algoritmul de determinare a momentului de comutaţie t_ij de pe traiectoria i pe traiectoria j va fi detaliat în paragraful următor.

b) dacă K₀ < , atunci pe termen scurt firma trebuie să aplice o politică optimală de creştere maximă (traiectoria II cu investiţie maximă posibilă prin sursele de autofinanţare proprii şi credite maxime) prin creşterea capitalului (> 0) până la momentul t₂₇ când intră pe traiectoria staţionară (VII) corespunzătoare nivelului al capitalului (vezi figura 1) şi apoi să urmeze traiectoria VII pe termen lung.

c)
dacă K₀ = , atunci strategia optimă trebuie să fie traiectoria VII, pe termen lung.

Cazul 2. Credite scumpe (r > i)

Problema este mai complicată, deoarece, după cum se evidenţiază în tabloul sintetic de analiză, există două traiectorii optime staţionare (traiectoria V şi traiectoria VI).

Teoremă. Atâta timp cât r > i politica optimală de autofinanţare pură (traiectoria V) este superioară politicii mixte () de finanţare prin credite şi autofinanţare (traiectoria VI)

Demonstraţie. Pe traiectoria V, a politicii de autofinanţare pură, avem () = a + i iar pe traiectoria mixtă VI avem () = a + r. Cum r > i rezultă că a + r > a + i şi deci () > (). Conform ipotezei veniturilor marginale descrescătoare (< 0), din () > () rezultă < .

Analiza posibilităţilor de evoluţie pune în evidenţă combinarea politicilor II, III şi IV cu cele două traiectorii V şi VI, ca în figura 2, în funcţie de starea iniţială K₀.

Se constată că:

- dacă nivelul iniţial K₀ < , firma va aplica pe termen scurt politica II de creştere prin autofinanţare şi credite maxime (chiar dacă în această conjunctură creditele sunt scumpe), până în momentul t₂₆ de atingere a nivelului , când intră pe politica VI, staţionară.

- dacă K₀ Î (,) firma va aplica pe termen scurt politica IV de creştere maximă prin autofinanţare (fără credite), până în momentul t₄₅ când trece pe politica staţionară V, tot cu autofinanţare pură, dar cu investiţii de menţinere (I^* = a∙).

- Dacă K₀ > , firma va aplica pe termen scurt politica III de contracţie (decapitalizare, cu investiţie nulă), până la momentul t₃₅, când trece pe politica staţionară V.

Vom demonstra în paragraful următor că, deşi politica VI este staţionară, firma poate trece la anumite momente t₆₄ pe traiectoria de creştere prin autofinanţare IV, cu investiţie maximă, evidenţiindu-se, în funcţie de starea iniţială K₀ strategiile:

VI ® IV ® V

II ® VI ® IV ® V

Analiza concatenarităţii traiectoriilor optime

Determinarea momentelor de comutaţie t_ij

A. Cazul creditelor ieftine (r < i)

Pentru a găsi criteriile de concatenare a diverselor politici optimale într-o strategie pe termen lung, vom folosi condiţiile de optim date de principiul lui Pontreaghin, care vor da informaţiile privind momentele de comutaţie de pe o traiectorie pe alta.

Din figura 1, pentru r < i, rezultă că trebuie să cercetăm accesibilitatea spre traiectoria VII a drumurilor II şi III.

Notăm cu momentul intrării de pe traiectoria i pe traiectoria j şi cu momentul plasării pe traiectoria j, unde = = t_ij.

Astfel, pe traiectoria VII avem m₇(t) > 0 oricare ar fi t Î [0,T], deci m₇() > 0, i = 2;3.

Din (SKT) (17".a.VII) şi (17".b.VII), pe traiectoria VII, avem:

Y₁() = 1 – g∙m₁()

Y₂() = (1 – g)∙m₁() > 0 (17'''.1)

a) Accesibilitatea de pe traiectoria II la traiectoria VII (strategia II ® VII)

Din condiţiile K-T (17'.b.II) rezultă Y₂(t) > 0, deoarece m₂(t) > 0 pe traiectoria II, deci Y₂() > 0. Cum Y₂() > 0 rezultă că traiectoria II accede la traiectoria VII şi momentul de comutaţie de pe II pe VII este soluţia ecuaţiei Y₂() = Y₂(), adică Y₂(t₂₇)½_II = Y₂(t₂₇)½_VII, unde ∙½_II şi ∙½_VII arată pe ce traiectorie se calculează variabilele adjuncte Y₂(t). Însă, aşa cum rezultă din analiza traiectoriilor, expresia analitică Y₂(t) nu poate fi determinată analitic în anumite variante, în aceste cazuri folosirea ecuaţiei Y₂(t₂₇)½_II = Y₂(t₂₇)½_VII fiind utilă numai dacă se operează cu traiectoria Y₂(t₂₇)½_II determinată prin metode de aproximare.

Vom folosi din acest motiv o altă cale de determinare a momentului de comutaţie, bazat pe observaţia că, dacă traiectoria i accede la traiectoria j, momentul de comutaţie t_ij este soluţia ecuaţiei:

K^*(t)½_(i) = K^*(t)½_(j) (23)

deci în cazul nostru K^*(t)½_II = unde K^*(t)½_II se calculează cu formula K^*(t) = + rezultată din sistemul (5.II) şi (4.II) şi = K^*(t)½_VII este traiectoria staţionară dată de (19".VII), soluţie a ecuaţiei:

– a = r∙g + (1 – g)∙i (19.VII)

Accesibilitatea (II ® VII) este posibilă dacă K(t)½_II < . Cum (¯) rezultă cerinţa:

( – a )_II > g∙r + (1 – g)∙i (24')

Pentru evaluarea venitului marginal net pe traiectoria II, din (5.II) şi (4.II) rezultă:

= + = m∙(R(K(t)) – a∙K(t) – r∙Y(t)) + {m∙[R(K(t)) – a∙K(t) – r∙Y(t)] + a∙X(t)} – a∙Y(t) =

= ∙[R(K(t)) – a∙K(t) – r∙Y(t)] + ∙a∙X(t) – a∙Y(t) (25)

Cum R(K(t) este concavă monoton crescătoare rezultă că venitul marginal este sub nivelul venitului mediu (vezi figura 3):

< (26)

(adică tg(a₁) < tg(a₂) Û a₁ < a₂).

Consecinţă: Între venitul net marginal şi venitul net mediu există inegalitatea:

– a < – a (26')

adică:

K_t ∙( – a) < R – a∙K_t (26")

Obţinem:

R(K_t) – a∙K_t > K_t∙( – a ) K_t∙(g∙r + (1 – g)∙i) > K_t∙r (26''')

ultima inegalitate rezultând din condiţia i > r (credite ieftine). Înlocuind în (25) deducem:

>∙[m∙r(K_t – Y(t)) + g∙a∙X(t) – (1 – g)a∙Y(t)] (25')

Dar > 0 pe traiectoria II. Deducem rezultatul important: "O condiţie suficientă pentru îndeplinirea cerinţei (24) este ca raportul dintre datoria firmei şi capitalul propriu să nu depăşească pragul de viabilitate a firmei (h = ):

< (27)

În concluzie, când K₀ < , în condiţiile creditelor ieftine (r < i), traiectoria II accede (crescător) către traiectoria VII, atingând-o la momentul t₂₇, soluţie a ecuaţiei (23). Acelaşi comportament se găseşte pentru orice stare iniţială la un moment t₀, cu condiţia ca la acest moment firma să se încadreze în pragul de viabilitate (27).

b) Accesibilitatea traiectoriei VII de pe traiectoria III

Este posibilă când K₀ > , deoarece ½_III ¯. Aceasta arată că:

( – a )½_III < g∙r + (1 – g)∙i (28)

deci venitul marginal net este redus; în aceste condiţii firma trebuie să aplice un program de contracţie (decapitalizare) până se atinge egalitatea:

( – a )½_III = g∙r + (1 – g)∙i (29)

ecuaţie care dă soluţia t = t₃₇, adică momentul de trecere la politica VII.

Observaţie: Analiza concatenărilor posibile prin evidenţierea condiţiilor de realizabilitate a politicilor după cum creditele sunt ieftine (r < i) sau scumpe (r > i), care a dus la obţinerea doar a două variante posibile:

II ® VII

III ® VII

poate fi suplinită prin analiza de concatenare a diverselor traiectorii, demonstrându-se imposibilitatea trecerii pe traiectoria VII de pe orice traiectorie IV, V sau VI. Astfel:

- trecerea de pe traiectoria VI pe VII arată că Y₂() = 0, conform (16'.b.VI) în contradicţie cu Y₂() > 0, conform (17'''.VII).

- trecerea de pe traiectoria V pe VII arată că Y₂() < 0, conform (16'.b.V) în contradicţie cu Y₂() > 0, conform (17'''.VII).

- trecerea de pe traiectoria IV pe VII arată că Y₂() < 0, conform (16'.b.IV) în contradicţie cu Y₂() > 0, conform (17'''.VII).

B. Cazul creditelor scumpe (r > i)

Strategiile optime posibile sunt prezentate în figura 2. Cum politicile optimale VII, VI şi V sunt staţionare, iese din discuţie posibilitatea concatenării între acestea (deoarece ¹ ¹ ).

a) Accesibilitatea către traiectoria V, adică spre politica staţionară cu autofinanţare pură, .

a₁) accesibilitatea de pe traiectoria II pe traiectoria V este imposibilă deoarece pe traiectoria II avem Y₂(t) > 0 oricare ar fi t > 0, deci Y₂() > 0 în contradicţie cu faptul că pe traiectoria V avem Y₂(t) = –m₃(t) < 0 oricare ar fi t > 0, conform (17'.V).

a₂) accesibilitatea de pe traiectoria IV pe traiectoria V este posibilă dacă şi numai dacă:

½_IV < (24.A.2)

deoarece pe traiectoria IV avem Y₂(t) = –m₃(t) < 0 deci există t = t₄₅ astfel încât Y₂() = Y₂() . Evident t = t₄₅ este soluţia ecuaţiei ½_IV = .

a₃) accesibilitatea de pe traiectoria III pe traiectoria V este posibilă când K₀ > , deoarece ½_III ¯.