4.6.4. Curba de indiferenţă şi coeficienţii aversiunii faţă de risc

In figura 4.10 decidentul are la început proiectul P⁰ . Preferinţele lui sunt reprezentate de funcţia de utilitate v_a(y) şi de curba de indiferenţă . Mulţimea de proiecte care sunt cel puţin la fel de bune pentru el ca şi proiectul sigur P⁰ se găseşte în aria de deasupra lui . Definim o creştere a aversiunii faţă de risc ca o reducere a dorinţei de a accepta riscul, adică reducerea setului de proiecte pe care el le priveşte cel puţin la fel de bune cu loteria sigură, dacă aceasta scade ca nivel de utilitate.

In figura 4.10 se observă că preferinţele decidentului vor creşte dacă el ar avea curba de indiferenţă , mulţimea de proiecte cel puţin la fel de bune ca P⁰ este mai mică. De exemplu, loterii ca P¹ sau P² care erau acceptate în cazul în care curba de indiferenţă ar fi fost nu mai pot fi acceptate acum când curba de indiferenţă este . Curba preferinţelor decidentului este acum v_b(y) care nu este o transformare liniară a lui v_a(y).

Am justificat necesitatea folosirii coeficientului de aversiune absolută la risc arătând că el depinde de premiul de risc şi este independent de funcţia de utilitate folosită pentru a reprezenta preferinţele. Vom arăta acum că o creştere a coeficientului de aversiune faţă de risc implică o aversiune mai mare la risc a decidentului în sensul că mulţimea de loterii cel puţin la fel de bune ca proiectul sigur este mai mică. Vom arăta că o creştere a lui A(y) este echivalentă cu o creştere a convexităţii curbei de indiferenţă în punctul aflat pe prima bisectoare ca în figura 4.10.

Fig. 4.10. Preferinţele decidentului în raport cu proiectul P⁰, P¹

O curbă de indiferenţă implică prin modul ei de construcţie că y₂ este o funcţie de y₁:

unde este creşterea cantităţii venitului y₂ necesară pentru a păstra nivelul utilităţii constant dacă y₁ ar creşte. Panta curbei de indiferenţă se poate scrie:

Rata de modificare a pantei curbei de indiferenţă este obţinută prin diferenţierea egalităţii de mai sus în raport cu y₁.

Pe prima bisectoare

şi deci

Deci pe prima bisectoare relaţia (4.8) este:

Considerăm pantele curbelor şi în P⁰.

Dacă pantele curbelor de indiferenţă P⁰ ar fi amândouă egale cu şi vom avea: . Pe de altă parte: > (4.9), fiind deasupra lui .

Atâta timp cât probabilităţile nu sunt afectate de schimbarea preferinţelor atunci relaţia (4.9) se poate scrie:

<

Deci dacă coeficientul absolut al aversiunii la risc creşte atunci curba de indiferenţă devine mai convexă în punctul de pe prima bisectoare şi decidentul va accepta mai greu loteriile(proiectele) riscante.

Atitudinea faţă de risc a unui decident poate să varieze şi în funcţie de veniturile pe care le poate obţine acesta.

In figura 4.11 distanţa orizontală de la la prima bisectoare arată riscul absolut ½½asociat loteriei .

Loteria are venituri mai mari în ambele stări dar diferenţa între şi este aceeaşi cu cea de la proiectul şi linia este paralelă cu dreapta . Atitudinea decidentului faţă de risc este dată de acceptarea sau neaceptare unei scăderi a lui pentru o creştere a lui , adică prin acceptarea sau neaceptarea riscului absolut ½½.

Acest fapt este arătat de poziţia curbei de indiferenţă şi .Dacă şi au aceeaşi pantă în şi atitudinea faţă de risc nu este afectată de creşterea venitului cu în ambele stări. De-a lungul liniei care e paralelă cu prima bisectoare, ½½ este constantă şi avem unde e diferenţa constantă a veniturilor. Atunci panta curbei de indiferenţă de-a lungul liniei :

Diferenţiem în raport cu şi arătăm cum panta curbelor de indiferenţă creşte cu aceeaşi rată în ambele stări.

Atâta timp cât probabilităţile şi utilităţile marginale sunt pozitive semnul expresiei depinde de schimbarea coeficienţilor absoluţi ai aversiunii faţă de risc şi .

Figura 6

Dacă A nu variază cu venitul, atunci relaţia de mai sus e egală cu zero şi pantele curbelor de indiferenţă în şi sunt aceleaşi.

Un coeficient de aversiune faţă de risc constant implică o utilitate marginală constantă, astfel încât decidentul să accepte o creştere a riscului dacă veniturile cresc în ambele stări. Disponibilitatea de a accepta o creştere a aversiunii faţă de risc, implică pante ale curbelor de indiferenţă mai abrupte pe dreapta . O creştere a gradului de a accepta riscul implică un coeficient de aversiune faţă de risc mai mic la un venit mai mare:

când . Dacă

şi pantele curbelor de indiferenţă devin negative şi mai abrupte decât venitul în ambele stări iar individul îşi mută preferinţele de la .

Premiul de risc arată atitudinea faţă de risc a individului în presupunerile făcute despre efectul creşterii venitului asupra lui A. Modificarea premiului de risc cauzat de creşterea venitului în ambele stări cu este:

unde şi sunt echivalentele certe ale lui şi .

Dacă pantele curbelor de indiferenţă sunt neafectate de schimbări egale în şi atunci distanţa de-a lungul primei bisectoare dintre şi este la fel pentru toate punctele de-a lungul lui .

In particular distanţa de-a lungul primei bisectoare de la la este aceeaşi cu . Dar, intersecţia dintre şi prima bisectoare în C^° defineşte echivalentul cert al venitului pentru loteria P⁰ şi similar în este

Atâta timp cât şi sunt paralele şi egale distanţa este egală cu dar şi .

Deci şi premiul de risc este neafectat de creşteri egale ale veniturilor în cele 2 stări. Curbele de indiferenţă au o pantă egală de-a lungul primei bisectoare. A rămas să arătăm că o scădere a aversiunii absolute faţă de risc este echivalentă cu o scădere a premiului de risc.

Presupunerile despre coeficientul relativ al aversiunii faţă de risc

vor avea de asemenea implicaţii pentru forma curbelor de indiferenţă şi reci-proc. O măsură a riscului relativ în cazul loteriilor cu două stări este propor-ţia între venitul mai mare şi cel mai mic /, unde/ la . Loteria din figura 4.12 are acelaşi risc relativ ca şi veniturile în ambele stări sunt proporţionale cu cele ale lui şi /.

Comportamentul individului faţă de proiectul riscant este indicată de atitudinea decidentului de a scădea în schimbul creşterii lui .

Fig.4.12. Atitudinea faţă de proiectele riscante

De-a lungul lui , este proporţional cu adică şi atunci panta curbelor de indiferenţă de-a lungul lui este:

Panta curbelor de indiferenţă de-a lungul lui şi-a schimbat ratele:

Deci dacă individul are aversiunea relativă la risc constantă curba lui de indiferenţă are o pantă constantă de-a lungul lui Relaţia dintre r, curba de indiferenţă şi premiul de risc relativ r/ este analogă pentru toţi care au aversiune faţă de risc şi accentuează ideea că aversiunea faţă de risc poate fi caracterizată într-o multitudine de feluri echivalente.