2.2.1. Utilitatea în sens Bernoulli

Bernoulli a fost unul dintre primii oameni de ştiinţă care s-a ocupat de ideea generală de utilitate, subliniind importanţa măsurării ei. El a introdus principiul speranţei matematice, dominant în teoria comportamentului în condiţii de incertitudine, potrivit căruia se preferă varianta care duce la câştigul mediu maxim. Bernoulli a arătat că acest principiu nu este însă universal aplicabil. Tot el a introdus paradoxul de la S. Petersburg, conform căruia oamenii prudenţi nu se conduc totdeauna după principiul speranţei matematice a câştigului.

Matematicianul Bernoulli a pus în evidenţă câteva proprietăţi importante ale utilităţii în contextul unei probleme celebre la vremea ei. Problema are în vedere alegerea unei decizii privind participarea sau neparticiparea la un joc de noroc, având următoarea regulă: într-o urnă se află o bilă albă şi o alta neagră, jucătorul (decidentul) urmând să extragă succesiv una din bile, iar după extragere să o reintroducă în urnă. El trebuie să aleagă înaintea începerii extragerilor una din culori, urmând a câştiga 2ⁿ unităţi monetare la a n-a extragere (n = 1, 2, ...), dacă în primele n extrageri a ieşit numai culoarea aleasă iniţial. Dacă p(n) este probabilitatea de a extrage de n ori succesiv culoarea aleasă vom avea p(1) = , p(2) = , ..., p(n) = .

Dacă N_k reprezintă starea naturii care desemnează k extrageri succesive reuşite cu probabilitatea de realizare p(k) = , A₁ decizia de participatre la joc şi A₂ decizia de neparticipare la joc, vom avea următoarea matrice decizională a consecinţelor (câştigurilor):

	N1	N2	...	Nn	...
	p(1)	p(2)	...	p(n)	...
A1	2	2^2	...	2^n	...
A2	0	0	...	0	...

Speranţele matematice ale câştigurilor în cele două variante sunt

E(A₂) = 0

Se poate observa că la limită, odată cu creşterea indefinită a lui n pare că E(A₁) ® ¥ sugerând că varianta A₁ ar fi deosebit de avantajoasă. Dacă însă decidentului i se va cere o taxă de participare la un astfel de joc, atunci decizia sa va depinde de speranţa matematică a utilităţilor sumelor băneşti 2, 2², ..., 2ⁿ, ... .

în marea majoritatea a cazurilor suma S pe care jucătorii sunt dispuşi să o plătească pentru a putea participa la joc nu depăşeşte câteva unităţi monetare, iar în cazul unei sume mari, decidentul va prefera A₂. Bernoulli a arătat că această sumă S îndeplineşte relaţia:

adică speranţa matematică a utilităţii este mai mică decât speranţa matematică a valorii băneşti E(A₁).

Meritul lui Bernoulli constă în aceea că el a despărţit noţiunea abstractă de utilitate de cea concretă de venit/câştig, atrăgând atenţia asupra necesităţii maximizării utilităţii medii (aşteptate). Pentru situaţia în care se referă la bogăţie/avere, el a considerat utilitatea ca fiind exprimată ca logaritm al valorii numerice a bogăţiei C, adică U(C) = log C.

Cramer a demonstrat că în acest context paradoxul de la S. Petersburg se menţine şi deci avem o utilitate medie infinită pe care totuşi nimeni nu o preferă. De aceea el a arătat că trebuie ca utilitatea câştigului să fie mărginită cel puţin superior, logaritmul dovedindu-se o aproximare bună într-un domeniu limită al bogăţiei (câştigului), fapt cunoscut sub numele de principiul micşorării utilităţii marginale.